Kang Nur


Suka main, njajan, dan data
Selasa, 21 Nov 2023
Share: 

Diperbarui Sabtu, 02 Des 2023

Ditulis oleh Kang Nur

Logika Proposisi

Daftar Isi

Apa itu logika?

Sebelum membahas Logika Proposisi kita bahas dulu secara singkat logika itu sendiri. Mungkin kita sudah sering mendengar kata "Logika" di kehidupan sehari-hari. Logika adalah ilmu yang mempelajari tentang cara berpikir dan bernalar yang benar. Logika membahas prinsip-prinsip dasar dalam membuat argumen yang valid dan memastikan kesesuaian antara premis (pernyataan yang dijadikan dasar argumen) dengan kesimpulan yang diambil. Tujuan utama logika adalah untuk mengembangkan metode berpikir yang dapat digunakan untuk mencari kesimpulan yang benar berdasarkan informasi yang ada.

Apa itu logika proposisi?

Setelah mengetahui definisi logika, selanjutnya kita bahas logika proposisi. Logika proposisi sering disebut logika matematika atau logika deduktif adalah matematika diskrit yang mempelajari tentang berkaitan pernyataan yang dapat dianggap benar (true) atau salah (false), namun tidak keduanya. Pernyataan tersebut dapat berbentuk tunggal (atomik) maupun gabungan (compound). Pernyataan sering disimbolkan dengan huruf-huruf kecil, seperti: p,q,r,s.

Contoh pernyataan berbentuk proposisi:

Pernyataan Proposisi? True/False
Bumi berputar mengelilingi matahari Yes True
Semua manusia bisa terbang Yes False
Sungai Nil terletak di Amerika Yes False
Saturnus memiliki cincin Yes True

Pada pembahasan ini, akan membahas beberapa konsep dari logika proposisi, antara lain: Pernyataan Gabungan, Tautologi dan Kontradiksi, Kesetaraan Logis, Aljabar Proposisi, Implikasi dan Biimplikasi, Argumentasi, dan Kuantor Pernyataan.

Selain itu, setiap pembahasan akan dipraktikkan menggunakan Python dan R.

Apa itu pernyataan gabungan?

Pernyataan gabungan atau compound statement adalah penggabungan dua atau lebih pernyataan menggunakan kata hubung dan, atau, tidak. Pada matematika/pemrograman sering disebut operator logika.

Apa saja macam-macam pernyataan gabungan?

Ada banyak sekali macam-macam pernyataan gabungan, antara lain:

  1. Konjungsi $$(∧)$$

    Konjungsi digunakan untuk menggabungkan dua pernyataan dengan kata penghubung dan. Suatu pernyataan $$p∧q$$ dikatakan benar jika kedua pernyataan $$p$$ dan $$q$$ benar.

    Contohnya:

    $$p$$ : "Hari ini adalah senin"

    $$q$$ : "Cuaca sedang hujan"

    $$p∧q$$ : akan benar jika hari ini adalah hari senin dan cuaca sedang hujan.

    Dalam pemrograman, konjungsi $$(∧)$$ sering disebut dengan operator logika AND atau &&. Jika kondisi pada pernyataan dalam suatu blok kode tidak kondisi True maka kode tidak dijalankan.

    Contoh pada bahasa python:

      

    p = True # hari ini adalah senin
    q = True # cuaca sedang hujan

    if p and q:
        print("Lebih baik tidur")
    else:
        print("Lebih baik bekerja")

    Contoh pada bahasa R:

      

    p <- TRUE # hari ini adalah senin
    q <- TRUE # cuaca sedang hujan

    if (p & q) {
      print("Lebih baik tidur")
    } else {
      print("Lebih baik bekerja")
    }

    Tabel kebenaran konjungsi $$(∧)$$

    $$p$$ $$q$$ $$p∧q$$
    T T T
    T F F
    F T F
    F F F

    Keterangan:

    • $$p$$ dan $$q$$ merepresentasikan dua pernyataan yang ingin digabungkan.

    • $$p∧q$$ adalah hasil dari konjungsi. Kondisi $$(T)$$ hanya jika kedua $$p$$ dan $$q$$ benar.

  2. Disjungsi $$(∨)$$

    Disjungsi digunakan untuk menggabungkan dua pernyataan dengan kata penghubung atau. Suatu pernyataan $$p∨q$$ dikatakan benar jika salah satu pernyataan $$p$$ dan $$q$$ benar.

    Contohnya:

    Dalam sebuah perlombaan, tim bisa mendapat piala jika salah satu anggotanya mendapatkan nilai lebih dari atau sama dengan 80.

    $$p$$ : "Andi mendapat nilai 80"

    $$q$$ : "Lutfi mendapat nilai 70"

    $$p∨q$$ : bernilai benar walapun Lutfi nilainya di bawah 80. Jadi tim ini mendapatkan piala.

    Dalam pemrograman, disjungsi $$(∨)$$ sering disebut dengan operator logika OR atau ||. Jika kondisi pada pernyataan dalam suatu blok kode kondisinya True maka kode dijalankan.

    Contoh pada bahasa python:

        

      p = 80 # nilai andi
      q = 70 # nilai lutfi

      if p >= 80 or q >= 80:
        print("Tim mendapatkan piala")
      else:
        print("Tim tidak mendapatkan piala")

    Contoh pada bahasa R:

      

    p <- 80 # nilai andi
    q <- 70 # nilai lutfi

    if (p >= 80 || q >= 80) {
      print("Tim mendapatkan piala")
    } else {
      print("Tim tidak mendapatkan piala")
    }

    Tabel kebenaran disjungsi $$(∨)$$

    $$p$$ $$q$$ $$p∨q$$
    T T T
    T F T
    F T T
    F F F

    Keterangan:

    • $$p$$ dan $$q$$ merepresentasikan dua pernyataan yang ingin digabungkan.

    • $$p∧q$$ adalah hasil dari konjungsi. Kondisi $$(T)$$ jika salah satu dari $$p$$ dan $$q$$ benar.

  3. Negasi $$(¬)$$

    Negasi digunakan untuk membuat sebuah ingkaran pada pernyataan. $$¬p$$ adalah benar jika pernyataan $$p$$ salah.

    Contohnya:

    $$p$$ : "Hari ini adalah hari minggu"

    $$¬p$$ : "Hari ini bukan hari minggu"

    Dalam pemrograman, negasi $$(¬)$$ sering disebut dengan operator logika NOT atau !. Jika kondisi pada pernyataan dalam suatu blok kode kondisinya True maka kondisinya dirubah menjadi False, dan sebaliknya.

    Contoh pada bahasa python:

      

    p = True # hari ini adalah hari minggu

    if not (p):
      print("hari ini hari minggu")
    else:
      print("hari ini tidak hari minggu")

    Contoh pada bahasa R:

      

    p <- TRUE  # hari ini adalah hari minggu

    if (!p) {
      print("hari ini hari minggu")
    } else {
      print("hari ini tidak hari minggu")
    }

    Tabel kebenaran negasi $$(¬)$$

    $$p$$ $$¬p$$
    T F
    F T

    Keterangan:

    • $$p$$ adalah pernyataan asli.

    • $$¬p$$ adalah hasil ingkaran dari pernyataan asli. Kondisi True menjadi False, dan sebaliknya.

  4. Jointdenial (Not OR/NOR) $$(¬∨)$$

    Jointdenial atau yang sering dikenal dengan NOR (Not OR) digunakan untuk menegasikan dari pernyataan disjungsi (OR). Dalam hal ini, kita menggunakan negasi $$(¬)$$ pada operasi OR. Misalnya, $$¬(p∨q)$$ akan menjadi hasil negasi dari operasi $$p∨q$$.

    Contohnya:

    $$p$$ : "Hari ini hari minggu"

    $$q$$ : "Saya menonton gandrung"

    $$¬(p∨q)$$ : Hari ini bukan hari minggu dan saya tidak menonton gandrung.

    Contoh pada bahasa python:

      

    p = True  # Hari ini hari minggu
    q = True  # Saya menonton gandrung

    if not (p or q):
      print("Hari ini hari minggu dan saya melihat gandrung")
    else:
      print("Hari ini bukan hari minggu dan saya tidak melihat gandrung")

    Contoh pada bahasa R:

      

    p <- TRUE  # Hari ini hari minggu
    q <- TRUE  # Saya menonton gandrung

    if (!(p || q)) {
      print("Hari ini hari minggu dan saya melihat gandrung")
    } else {
      print("Hari ini bukan hari minggu dan saya tidak melihat gandrung")
    }

    Tabel kebenaran Jointdenial (Not OR/NOR) $$(¬∨)$$

    $$p$$ $$q$$ $$p∨q$$ $$¬(p∨q)$$
    T T T F
    T F T F
    F T T F
    F F F T

    Keterangan:

    • $$p$$ dan $$q$$ merepresentasikan dua pernyataan yang ingin digabungkan.

    • $$¬(p∨q)$$ adalah hasil dari operasi NOR. Kondisi $$¬(p∨q)$$ bernilai True jika kondisi $$(p∨q)$$ bernilai False, dan sebaliknya.

  5. Not AND/NAND $$(¬∧)$$

    NAND (Not AND) digunakan untuk menegasikan dari pernyataan konjungsi (AND). Dalam hal ini, kita menggunakan negasi $$(¬)$$ pada operasi AND. Misalnya, $$¬(p∧q)$$ akan menjadi hasil negasi dari operasi $$p∧q$$.

    Contohnya:

    $$p$$ : "Hari ini hari minggu"

    $$q$$ : "Saya tidak menonton gandrung"

    $$¬(p∧q)$$ : Hari ini bukan hari minggu dan saya menonton gandrung.

    Contoh pada bahasa python:

      

    p = True  # Hari ini adalah hari Minggu
    q = False  # Saya tidak menonton gandrung

    if not (p and q):
      print("Hari ini bukan hari Minggu dan saya menonton gandrung.")
    else:
      print("Hari ini mungkin hari Minggu, atau saya tidak menonton gandrung.")

    Contoh pada bahasa R:

      

    p <- TRUE  # Hari ini adalah hari Minggu
    q <- FALSE  # Saya tidak menonton gandrung

    if (!(p & q)) {
      print("Hari ini bukan hari Minggu dan saya menonton gandrung.")
    } else {
      print("Hari ini mungkin hari Minggu, atau saya tidak menonton gandrung.")
    }

    Tabel kebenaran not AND/NAND $$(¬∧)$$

    $$p$$ $$q$$ $$(p∧q)$$ $$¬(p∧q)$$
    T T T F
    T F F T
    F T F T
    F F F T

    Keterangan:

    • $$p$$ dan $$q$$ merepresentasikan dua pernyataan yang ingin digabungkan.

    • $$¬(p∧q)$$ adalah hasil dari operasi NAND. Kondisi $$¬(p∧q)$$ bernilai True jika kondisi $$(p∧q)$$ bernilai False, dan sebaliknya.

  6. eXclusive OR/XOR $$(⊕)$$

    eXclusive OR (XOR) adalah gabungan pernyataan yang bernilai True jika salah satu $$p$$ atau $$q$$ bernilai True (tidak kedua-duanya). Dengan kata lain, XOR akan bernilai benar jika kondisi kedua pernyatan berbeda.

    Contohnya:

    $$p$$ : "Mobil tersebut berwarna hitam"

    $$q$$ : "Mobil tersebut tidak berwarna putih"

    $$p⊕q$$ : keluaran dari $$p$$ dan $$q$$ akan bernilai True, karena salah satu pernyataan tersebut tidak bernilai True.

    Dalam pemrograman, XOR $$(⊕)$$ sering disebut dengan operator bitwise XOR, terkadang disimbolkan dengan ^. Jika kondisi pada pernyataan dalam suatu blok kode salah satu kondisinya True, maka kode dijalankan.

    Contoh pada bahasa python:

          

      p = True  # Mobil tersebut berwarna hitam
      q = False  # Mobil tersebut berwarna putih

      if p ^ q:
        print("Mobil tersebut dapat berwarna hitam ⊕ putih.")
      else:
        print("Mobil tersebut dapat berwarna hitam dan putih, atau mungkin tidak sama sekali.")

    Contoh pada bahasa R:

          

      p <- TRUE  # Mobil tersebut berwarna hitam
      q <- FALSE  # Mobil tersebut berwarna putih

      if (xor(p, q)) {
        print("Mobil tersebut dapat berwarna hitam ⊕ putih.")
      } else {
        print("Mobil tersebut dapat berwarna hitam dan putih, atau mungkin tidak sama sekali.")
      }

    Tabel kebenaran eXclusive OR/XOR $$(⊕)$$

    $$p$$ $$q$$ $$p⊕q$$
    T T F
    T F T
    F T T
    F F F

    Keterangan:

    • $$p$$ dan $$q$$ merepresentasikan dua pernyataan yang ingin digabungkan.

    • $$p⊕q$$ adalah hasil dari XOR. Kondisi $$(T)$$ jika salah satu dari $$p$$ dan $$q$$ (tidak keduanya) benar.

  7. eXclusive NOR/XNOR $$(≡/↔)$$

    eXclusive NOR (XNOR) digunakan untuk menegasikan dari pernyataan XOR. Dimana, XNOR bernilai True jika kedua pernyataan nilainya sama (baik kedua pernyataan bernilai True atau False).

    Contohnya:

    $$p$$ : "Kamar tidur ini dilengkapi dengan lampu tidur"

    $$q$$ : "Suasana kamar tidur ini tenang"

    $$p≡q$$ : keluaran dari $$p$$ dan $$q$$ akan bernilai True, karena kedua pernyataan tersebut bernilai True.

    Contoh pada bahasa python:

          

      p = True  # Kamar tidur ini dilengkapi dengan lampu tidur yang menyala
      q = True  # Suasana kamar tidur ini tenang

      if not (p ^ q):
        print("Kamar tidur ini dilengkapi dengan lampu tidur yang menyala ↔ suasana tenang.")
      else:
        print("Kamar tidur ini mungkin dilengkapi dengan lampu tidur yang menyala dan suasana tenang, atau tidak sama sekali.")

    Contoh pada bahasa R:

          

      p <- TRUE # Kamar tidur ini dilengkapi dengan lampu tidur yang menyala
      q <- TRUE # Suasana kamar tidur ini tenang

      if (!xor(p, q)) {
        print("Kamar tidur ini dilengkapi dengan lampu tidur yang menyala ↔ suasana tenang.")
      } else {
        print("Kamar tidur ini mungkin dilengkapi dengan lampu tidur yang menyala dan suasana tenang, atau tidak sama sekali.")
      }

    Tabel kebenaran eXclusive NOR/XNOR $$(≡/↔)$$

    $$p$$ $$q$$ $$p≡q$$
    T T T
    T F F
    F T F
    F F T

    Keterangan:

    • $$p$$ dan $$q$$ merepresentasikan dua pernyataan yang ingin digabungkan.

    • $$p≡q$$ adalah hasil dari XNOR. Kondisi $$(T)$$ jika pernyataan $$p$$ dan $$q$$ pernyataannya sama.

Apa itu tautologi dan kontradiksi?

Tautologi dan kontradiksi adalah konsep dari logika proposisi yang merujuk pada dua jenis pernyataan khusus yang dipandang dari nilai kebenarannya.

  1. Tautologi $$(p∨¬p)$$

    Tautologi adalah konsep proposisi yang nilai/kondisinya selalu benar tidak peduli bagaimana nilai/kondisi pernyatannya, intinya kayak cewek dah selalu benar 😂.

    Contohnya:

    $$p$$ : "Hari ini adalah hari kerja"

    $$¬p$$ : "Hari ini bukan hari kerja"

    $$p∨¬p$$ : keluarannya akan selalu bernilai True tidak peduli pernyataan tersebut True atau False.

    Dalam pemrograman, konsep tautologi dapat dijumpai pada ekspresi logika yang selalu benar, tidak peduli nilai variabel-variabel yang ada.

    Contoh pada bahasa python:

            

    x = 8 # variabelnya dirubah bentuk apapun akan selalu True nilainya

    if x > 0 or x <= 0:
      print("Pernyataan ini selalu dijalankan.")
    else:
      print("Pernyataan ini tidak akan pernah dijalankan.")

    Contoh pada bahasa R:

      

    x <- 8  # Variabelnya dirubah bentuk apapun akan selalu TRUE nilainya

    if (x > 0 || x <= 0) {
      print("Pernyataan ini selalu dijalankan.")
    } else {
      print("Pernyataan ini tidak akan pernah dijalankan.")
    }

    Tabel kebenaran tautologi $$(p∨¬p)$$

    $$p$$ $$¬p$$ $$p∨¬p$$
    T F T
    F T T

    Keterangan:

    • $$p$$ : adalah pernyataan

    • $$¬p$$ : adalah negasi dari $$p$$

    • $$(p∨¬p)$$ : adalah hasil dari disjungsi antara $$p$$ dan negasi $$p$$. Dapat kita lihat, tidak peduli pernyataannya True atau False, nilainya selalu True.

  2. Kontradiksi $$(p∧¬p)$$

    Kebalikan dari tautologi, kontradiksi adalah konsep proposisi yang nilai/kondisinya selalu salah tidak peduli bagaimana nilai/kondisi pernyatannya, ini seperti cowok yang selalu salah di mata cewek 😎🔥.

    Contohnya:

    $$p$$ : "Kamu baik hati"

    $$¬p$$ : "Kamu tidak baik hati"

    $$p∧¬p$$ : Pernyataan tersebut adalah kontradiksi. Karena sifat baik hati dan tidak baik hati saling bertentangan.

    Dalam pemrograman, konsep kontradiksi dapat dijumpai pada ekspresi logika yang selalu salah, tidak peduli nilai variabel-variabel yang ada.

    Contoh pada bahasa python:

      

    x = 6 # Variabelnya dirubah bentuk apapun akan selalu TRUE nilainya

    if x == 10 and x != 10:
      print("Pernyataan ini selalu salah.")
    else:
      print("Pernyataan ini tidak akan pernah benar.")

    Contoh pada bahasa R:

      

    x <- 6 # Variabelnya dirubah bentuk apapun akan selalu FALSE nilainya

    if (x == 10 & x != 10) {
      print("Pernyataan ini selalu salah.")
    } else {
      print("Pernyataan ini tidak akan pernah benar.")
    }

    Tabel kebenaran kontradiksi $$(p∧¬p)$$

    $$p$$ $$¬p$$ $$p∧¬p$$
    T F F
    F T F

    Keterangan:

    • $$p$$ : adalah pernyataan

    • $$¬p$$ : adalah negasi dari p

    • $$p∧¬p$$ : adalah hasil dari konjungsi antara $$p$$ dan negasi $$p$$. Dapat kita lihat, tidak peduli pernyataannya True atau False, nilainya selalu False.

Apa itu kesetaraan logis?

Kesetaraan logis $$(≡)$$ adalah konsep dari logika proposisi yang merujuk pada dua pernyataan yang memiliki nilai/kondisi yang setara/ekuivalen.

Contohnya:

$$p$$ : "Nilai mahasiswa 60"

$$q$$ : "Nilai lulus 85"

$$p≡q$$ : "Mahasiswa tidak lulus karena nilainya tidak sama dengan nilai lulus", artinya kondisinya False.

Dalam pemrograman, kesetaraan logis $$(≡)$$ sering digunakan untuk membandingkan dua ekspresi atau pernyataan apakah keduanya memiliki nilai yang sama. Kesetaraan logis dalam pemrograman disimbolkan dengan == atau ===.

Contoh pada bahasa python:

  

    p = 85 # nilai mahasiswa
    q = 60 # nilai lulus

    if p == q:
        print("Mahasiswa lulus dengan nilai yang tepat.")
    else:
        print("Mahasiswa tidak lulus atau mendapat nilai yang berbeda.")

Contoh pada bahasa R:

  

    p <- 85  # nilai mahasiswa
    q <- 60  # nilai lulus

    if (p == q) {
      print("Mahasiswa lulus dengan nilai yang tepat.")
    } else {
      print("Mahasiswa tidak lulus atau mendapat nilai yang berbeda.")
    }

Tabel kebenaran kesetaraan logis $$(≡)$$

$$p$$ $$q$$ $$¬p$$ $$¬q$$ $$(p∨q)$$ $$¬(p∨q)$$ $$¬p∨¬q$$
T T F F T F F
T F F T T F F
F T T F T F F
F F T T F T T

Keterangan:

Jadi, $$¬(p∨q)$$ ekuivalen $$(≡)$$ dengan $$¬p∨¬q$$

Apa itu aljabar proposisi?

Aljabar proposisi adalah serangkaian aturan atau hukum yang digunakan untuk menyederhanakan, menggabungkan, dan memanipulasi ekspresi logika proposisi. Hukum-hukum pada aljabar proposisi ini mirip dengan hukum-hukum aljabar pada matematika, namun diterapkan pada logika proposisi. Berikut hukum-hukum pada aljabar proposisi:

No Hukum Operator Ekspresi
1 Idempoten Konjungsi $$(∧)$$ $$p ∧ p = p$$
Disjungsi $$(∨)$$ $$p ∨ p = p$$
2 Asosiatif Konjungsi $$(∧)$$ $$(p∧q)∧r=p∧(q∧r)$$
Disjungsi $$(∨)$$ $$(p ∨ q) ∨ r = p ∨ (q ∨ r)$$
3 Komutatif Konjungsi $$(∧)$$ $$p ∧ q = q ∧ p$$
Disjungsi $$(∨)$$ $$p ∨ q = q ∨ p$$
4 Distribusi Konjungsi $$(∧)$$ $$p ∧ (q ∨ r) = (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)$$
Disjungsi $$(∨)$$ $$p ∨ (q ∧ r) = (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)$$
5 Identitas Konjungsi $$(∧)$$ $$p ∧ t = p$$
Disjungsi $$(∨)$$ $$p ∨ t = p$$
6 Komplemen Konjungsi $$(∧)$$ $$p ∧ ¬p = f$$
Disjungsi $$(∨)$$ $$p ∨ ¬p = f$$
7 Absorbsi Konjungsi $$(∧)$$ $$p ∧ (p ∨ q) = p$$
Disjungsi $$(∨)$$ $$p ∨ (p ∧ q) = p$$
8 De morgans Konjungsi $$(∧)$$ $$¬(p∧q)≡(¬p)∨(¬q)$$
Disjungsi $$(∨)$$ $$¬(p∨q)≡(¬p)∧(¬q)$$
9 Involution Negasi $$(¬)$$ $$¬(¬p) = p$$
10 Implikasi $$→$$ $$p → q=¬p ∨ q$$
11 Biimplikasi $$↔$$ $$p ↔ q =(p → q) ∧ (q → p)$$
12 Kontraposisi $$→$$ $$p → q = ¬q → ¬p$$

Penjelasan:

  1. Hukum Idempoten

    • Berbunyi : Jika melakukan operasi pada suatu proposisi yang sama, maka hasilnya akan tetap sama dengan proposisi tersebut.

    • Kegunaan : Menyederhanakan, mereduksi, mengurangi kompleksitas ekspresi logika dan mempermudah analisis.

  2. Hukum Asosiatif

    • Berbunyi : Jika kita menggabungkan tiga proposisi, maka urutan pengelompokan dalam operasi tersebut tidak memengaruhi hasil akhir dari operasi tersebut. Sehingga, kita dapat mengelompokkan proposisi-proposisi tersebut sesuai keinginan tanpa mengubah kebenaran logis dari pernyataan tersebut.

    • Kegunaan : Mempermudah analisis dan manipulasi ekspresi logika karena pengelompokkan yang lebih fleksibel.

  3. Hukum Komutatif

    • Berbunyi : Jika menukar dua proposisi, maka tidak mengubah kebenaran logis dari pernyataan tersebut.

    • Kegunaan : Dalam pemrograman komputer, dapat digunakan untuk optimasi struktur data, sehingga meningkatkan kinerja. Contohnya, operasi pertukaran nilai pada dua variabel dapat dioptimalkan dengan menggunakan hukum komutatif.

      Contoh pada bahasa python:

        

    p = 8
    q = 6

    # Sebelum menggunakan hukum komutatif
    temp = p
    p = q
    q = temp

    # Setelah menggunakan hukum komutatif
    p, q = q, p

  4. Hukum Distribusi

    • Berbunyi : Jika menukar atau mengelompokkan proposisi pada operasi konjungsi dan disjungsi, maka tidak memengaruhi kebenaran logis dari pernyataan tersebut.

    • Kegunaan : Dalam pemrograman komputer, dapat digunakan untuk optimasi kondisi logika atau ekspresi. Ini dapat meningkatkan efisiensi dan code readibility.

      Contoh pada bahasa python:

        

    p = True
    q = False
    r = True

    # Sebelum menggunakan hukum distribusi
    if (p and q) or (p and r):
    # Blok kode
    pass

    # Setelah menggunakan hukum distribusi
    if p and (q or r):
    # Blok kode
    pass

      Contoh pada bahasa R:

        

    p <- TRUE
    q <- FALSE
    r <- TRUE

    # Sebelum menggunakan hukum distribusi
    if ((p & q) | (p & r)) {
      # Blok kode
    }

    # Setelah menggunakan hukum distribusi
    if (p & (q | r)) {
      # Blok kode
    }

  5. Hukum Identitas

    • Berbunyi : Jika mengkonjungsikan/mendisjungsikan antara suatu proposisi dan proposisi yang sama, maka akan selalu menghasilkan proposisi tersebut.

    • Kegunaan : Dalam pemrograman komputer, dapat digunakan untuk optimasi pemilihan kondisi.

  6. Hukum Komplemen

    • Berbunyi : Jika menukar dua proposisi, yaitu proposisi dan negasi dari proposisi tersebut, maka tidak mengubah kebenaran logis dari pernyataan tersebut.

    • Kegunaan : Dalam pemrograman komputer, dapat digunakan untuk membantu memilih kondisi alternatif.

      Contoh pada bahasa python:

        

    variable = True
    value = True

    # Sebelum menggunakan hukum komplemen
    if variable != value:
      # Blok kode A
      pass
    else:
      # Blok kode B jika variable == value
      pass

    # Setelah menggunakan hukum komplemen
    if not variable != value:
      # Blok kode B jika variable == value
      pass
    else:
      # Blok kode A
      pass

      Contoh pada bahasa R:

        

    variable <- TRUE
    value <- TRUE

    # Sebelum menggunakan hukum komplemen
    if (variable != value) {
      # Blok kode A
    } else {
      # Blok kode B jika variable == value
    }

    # Setelah menggunakan hukum komplemen
    if (!(variable != value)) {
      # Blok kode B jika variable == value
    } else {
      # Blok kode A
    }

  7. Hukum Absorbsi

    • Berbunyi : Jika menggabungkan suatu proposisi $$p$$ dengan hasil dari disjungsi/konjungsi antara $$p$$ dan proposisi lain $$q$$, maka operasi tersebut akan menghasilkan proposisi $$p$$.

    • Kegunaan : Dalam pemrograman komputer, dapat digunakan untuk optimasi pemilihan kondisi.

  8. Hukum De morgans

    • Berbunyi : Jika negasi dari konjungsi/disjungsi dua proposisi, maka sama dengan konjungsi/disjungsi dari negasi masing-masing proposisi.

    • Kegunaan : Dalam pemrograman komputer, dapat digunakan manipulasi struktur data yang melibatkan kondisi logika.

  9. Hukum Involution

    • Berbunyi : Jika menggunakan dua kali operasi negasi pada suatu proposisi, maka akan mengembalikan proposisi aslinya.

    • Kegunaan : Dalam pemrograman komputer, dapat digunakan untuk menyederhanakan operasi negasi (not) pada suatu variabel boolean.

  10. Hukum Implikasi

    • Berbunyi : Jika proposisi $$p$$ benar, maka proposisi $$q$$ juga benar; namun, jika $$p$$ salah, tidak ada klaim yang dibuat tentang kebenaran atau ketidakbenaran $$q$$.

    • Kegunaan : Dalam pemrograman komputer, dapat digunakan untuk mengevaluasi dan menyederhanakn kondisi logika.

  11. Hukum Biimplikasi

    • Berbunyi : Jika proposisi $$p$$ benar, maka proposisi $$q$$ juga benar. Dan jika proposisi $$p$$ salah, maka proposisi $$q$$ juga salah.

    • Kegunaan : Dalam pemrograman komputer, dapat digunakan untuk menyederhanakan dan memahami kondisi logika.

  12. Hukum Kontraposisi

    • Berbunyi : Jika kesimpulan dari suatu implikasi salah $$¬q$$, maka hipotesisnya juga harus salah $$¬p$$.

    • Kegunaan : Dalam pemrograman komputer, dapat digunakan untuk menyederhanakan dan memahami kondisi logika yang melibatkan implikasi.

Apa itu implikasi dan biimplikasi?

Implikasi dan biimplikasi adalah dua konsep penting pada logika proposisi, berikut penjelasan secara detail:

  1. Implikasi

    Implikasi menyatakan hubungan antara dua proposisi, di mana satu proposisi disebut sebagai "konsekuensi" atau "hasil" dari proposisi lainnya. Biasanya notasinya ditandai dengan $$(→)$$.

    Tabel kebenaran implikasi

    $$p$$ $$q$$ $$p→q$$
    T T T
    T F F
    F T T
    F F T

    Studi kasus:

    $$p$$ : "Anda memiliki kartu anggota gym".

    $$q$$ : "Anda dapat mengakses fasilitas olahraga di tempat gym"

    1. Jika anda memiliki kartu anggota gym $$(T)$$ dan anda dapat mengakses fasilitas olahraga di tempat gym $$(T)$$. Maka, Implikasi $$p→q$$ $$(T)$$.

    2. Jika anda memiliki kartu anggota gym $$(T)$$, namun anda tidak dapat mengakses fasilitas olahraga di tempat gym $$(F)$$. Maka, Implikasi $$p→q$$ $$(F)$$. Harusnya sebagai member bebas mengakses fasilitas tempat olahraga gym.

    3. Jika anda tidak memiliki kartu anggota gym $$(F)$$, tapi anda dapat mengakses fasilitas olahraga di tempat gym $$(T)$$. Maka, implikasi $$p→q$$ $$(T)$$. Dapat mengakses sebagai pengguna biasa bukan sebagai anggota atau member.

    4. Jika anda tidak memiliki kartu anggota gym $$(F)$$, dan anda tidak dapat mengakses fasilitas olahraga di tempat gym $$(F)$$. Maka, implikasi $$p→q$$ $$(T)$$. Bisa jadi tempat gym tersebut dikhususkan untuk member.

    2. Konvers, invers, dan kontraposisi

    Tiga konsep ini adalah konsep penting yang harus dipahami pada implikasi, mari kita bahas lebih dalam menggunakan studi kasus di atas:

    1. Konvers

      • Konvers dari sebuah implikasi $$p→q$$ adalah $$q→p$$.

      • Artinya, jika kita memiliki pernyataan "Jika $$p,$$ maka $$q$$" maka konversnya adalah "jika $$q$$, maka $$p$$".

      2. Studi kasus

      • Implikasi : "Jika anda memiliki kartu anggota gym $$(p)$$, maka anda dapat mengakses fasilitas olahraga di tempat gym $$(q)$$."

      • Konvers : "Jika Anda dapat mengakses fasilitas olahraga di tempat gym $$(q)$$, maka Anda memiliki kartu anggota gym $$(p)$$."

    1. Invers

      • Invers dari sebuah implikasi $$p→q$$ adalah $$¬p→¬q$$.

      • Artinya, jika kita memiliki pernyataan "Jika $$p$$, maka $$q$$" maka inversnya adalah "jika buka $$p$$, maka buka $$q$$".

      2. Studi kasus

      • Implikasi : "Jika anda memiliki kartu anggota gym $$(p)$$, maka anda dapat mengakses fasilitas olahraga di tempat gym $$(q)$$."

      • Invers : "Jika anda tidak memiliki kartu anggota gym $$(¬p)$$, maka anda tidak dapat mengakses fasilitas olahraga di tempat gym $$(¬q)$$."

    1. Kontraposisi

      • Kontraposisi dari sebuah implikasi $$p→q$$ adalah $$¬q→¬p$$.

      • Artinya, jika kita memiliki pernyataan "Jika $$p$$, maka $$q$$" maka konversnya adalah "jika $$¬q$$, maka $$¬p$$".

      2. Studi kasus

      • Implikasi : "Jika anda memiliki kartu anggota gym $$(p)$$, maka anda dapat mengakses fasilitas olahraga di tempat gym $$(q)$$."

      • Kontraposisi : "Jika anda tidak dapat mengakses fasilitas olahraga di tempat gym $$(¬q)$$, maka Anda tidak memiliki kartu anggota gym $$(¬p)$$."

    Tabel kebenaran konvers, invers, dan kontraposisi

    $$p$$ $$q$$ $$¬p$$ $$¬q$$ $$p→q$$ $$q→p$$ $$¬p→¬q$$ $$¬q→¬p$$
    T T F F T T T T
    T F F T F T T F
    F T T F T F F T
    F F T T T T T T

    Jadi dapat disimpulkan dari tabel kebenaran diatas bahwa:

    • Konvers dan invers tidak selalu memiliki nilai kebenaran yang sama dengan implikasi.

    • Sedangkan kontraposisi menunjukkan bahwa nilai kebenarannya selalu sama dengan implikasi (ekuivalen).

  2. Biimplikasi

    Biimplikasi menyatakan hubungan timbal balik antara dua proposisi. Biasanya notasinya ditandai dengan $$(↔)$$.

    Tabel kebenaran biimplikasi

    $$p$$ $$q$$ $$p↔q$$
    T T T
    T F F
    F T F
    F F T

    Studi kasus:

    $$p$$ : "Anda memiliki smartphone".

    $$q$$ : "Anda mengirim whatsapp".

    1. Jika anda memiliki smartphone $$(T)$$ dan anda dapat mengirim whatshapp $$(T)$$. Maka, biimplikasi $$p↔q$$ benar.

    2. Jika anda memiliki smartphone $$(T)$$, namun anda tidak dapat mengirim whatshapp $$(F)$$. Maka, biimplikasi $$p↔q$$ salah.

    3. Jika anda tidak memiliki smartphone $$(F)$$, namun anda dapat mengirim whatshapp $$(T)$$. Maka, biimplikasi $$p↔q$$ salah.

    4. Jika anda tidak memiliki smartphone $$(F)$$ dan anda tidak dapat mengirim whatshapp $$(F)$$. Maka, biimplikasi $$p↔q$$ benar.

Apa itu argumentasi?

Argumentasi adalah serangkaian proposisi atau pernyataan yang disusun dengan cara tertentu. Serangkaian Proposisi ini ada yang disebut dengan premis atau asumsi dan ada proposisi yang disebut dengan kesimpulan atau konklusi. Dalam argumentasi, premis dan kesimpulan adalah dua komponen utama. Berikut detailnya:

  1. Premis

    Proposisi ini digunakan untuk sebagai dasar atau landasan dari argumen. Premis memberikan informasi awal yang digunakan untuk mendukung kesimpulan.

  2. Kesimpulan

    Sedangkan proposisi ini dihasilkan atau disimpulkan dari premis-premis yang diberikan. Kesimpulan adalah inti dari argumentasi. Argumentasi dianggap valid jika implikasi dari premis-premisnya terhadap konklusi atau kesimpulannya merupakan suatu tautologi. Semua hipotesa benar maka kesimpulan juga benar. Biasanya kesimpulan dinotasikan menggunakan $$(∴)$$ dibaca maka/oleh karena itu.

Contoh argumen dan menguji validitas argumen:

Mari kita buat tabel kebenarannya untuk menguji validitas argumen:

$$P$$ $$Q$$ $$P→Q$$ $$(P→Q)∧P$$ $$∴Q$$
T T T T T
T F F F T
F T T F T
F F T F T

Mari kita lihat validitas argumen ini:

Karena tabel kebenaran yang dihasilkan berupa tautologi, maka argumen tersebut valid.

Apa saja cara penarikan kesimpulan?

Penarikan kesimpulan adalah pola argumentasi logis yang digunakan untuk mendapatkan kesimpulan dari premis yang diberikan. Berikut teknik-teknik penarikan kesimpulan:

  1. Conjunction

    • Aturan : $$P$$ dan $$Q$$, sehingga $$P∧Q$$.

    • Contoh :

      • $$P$$ : "Hari ini adalah hari senin"

      • $$Q$$ : "Cuacanya cerah"

      • $$∴ P∧Q$$ : "Hari ini adalah senin dan cuacanya cerah."

  2. Addition

    • Aturan : $$P$$, sehingga $$P∨Q$$.

    • Contoh:

      • $$P$$ : "Saya suka teh."

      • $$∴P∨Q$$ : "Saya suka teh atau kopi."

  3. Modus Ponens

    • Aturan : $$P→Q$$ dan $$P$$, sehingga $$Q$$.

    • Contoh:

      • $$P→Q$$ : "Jika hujan, maka jalanan menjadi basah."

      • $$P$$ : "Hujan"

      • $$∴ Q$$ : "Jalanan menjadi basah."

  4. Constructive Dilemma

    • Aturan : $$(P→Q)∧(R→S)$$ dan $$P∨R$$, sehingga $$Q∨S$$.

    • Contoh:

      • $$(P→Q)∧(R→S)$$ : "Jika hujan, maka saya akan tetap dirumah." dan "Jika cuaca cerah, maka saya akan pergi bersepeda."

      • $$P∨R$$ : "Hari ini hujan atau cuaca."

      • $$∴Q∨S$$ : "Hari ini saya akan tetap di rumah atau pergi bersepeda."

  5. Hypothetical syllogism

    • Aturan : $$P→Q$$ dan $$Q→R$$, sehingga $$P→R$$.

    • Contoh :

      • $$P→Q$$ : "Jika saya belajar, maka saya akan lulus."

      • $$Q→R$$ : "Jika saya lulus, maka saya akan mendapatkan gelar."

      • $$∴P→R$$ : "Jika saya belajar, maka saya akan mendapatkan gelar."

  6. Simplification

    • Aturan : $$P∧Q$$, sehingga $$P$$.

    • Contoh :

      • $$P∧Q$$ : "Hari ini adalah senin dan cuacanya cerah."

      • $$∴P$$ : "Hari ini adalah hari senin."

  7. Disjunctive syllogism

    • Aturan: $$P∨Q$$ dan $$¬P$$, sehingga $$Q$$.

    • Contoh:

      • $$P∨Q$$ : "Saya suka teh atau kopi."

      • $$¬P$$ : "Saya tidak suka teh."

      • $$∴Q$$ : "Saya suka kopi."

  8. Modus tollens

    • Aturan : $$P→Q$$ dan $$¬Q$$, sehingga $$¬P$$.

    • Contoh:

      • $$P→Q$$ : "Jika saya belajar, maka saya akan lulus."

      • $$¬Q$$ : "Saya tidak lulus."

      • $$∴¬P$$ : "Saya tidak belajar."

  9. Destrutive dilemma

    • Aturan : $$(P→Q)∧(R→S)$$ dan $$¬Q∨¬S$$, sehingga $$¬P∨¬R$$.

    • Contoh :

      • $$(P→Q)∧(R→S)$$ : "Jika saya belajar, maka saya akan lulus ujian." dan "Jika saya hadir di kelas, maka saya akan mendapatkan pemahaman yang baik."

      • $$¬Q∨¬S$$ : "Saya tidak akan lulus ujian atau saya tidak akan mendapatkan pemahaman yang baik."

      • $$∴¬P∨¬R$$ : "Saya tidak akan belajar atau saya tidak akan hadir di kelas."

  10. Absorption

    • Aturan : $$(P→Q)$$, sehingga $$P→(P∧Q)$$.

    • Contoh :

      • $$(P→Q)$$ : "Jika hujan, maka saya membawa payung."

      • $$∴P→(P∧Q)$$ : "Jika hujan, maka hujan dan saya membawa payung."

Apa itu kuantor logika?

Kuantor logika adalah konsep dalam logika matematika yang digunakan untuk menyatakan sejumlah elemen dalam suatu himpunan atau domain tertentu. Ada dua jenis kuantor, yaitu kuantor universal dan kuantor eksistensial.

  1. Kuantor Universal $$(∀)$$

    • Konsep : Kuantor ini digunakan untuk menyatakan bahwa suatu penyataan berlaku untuk semua elemen dalam suatu himpunan atau domain tertentu.

    • Dalam bahasa sehari-hari : "Untuk setiap" atau "Bagi semua".

    • Contoh : "Untuk setiap siswa, mereka suka belajar". Artinya, semua siswa tanpa terkecuali suka belajar.

    • Kalimat matematisnya : $$∀x,P(x)$$

      • $$∀$$ adalah simbol kuantor universal yang berarti "untuk setiap".

      • $$x$$ adalah variabel yang mewakili setiap siswa.

      • $$P(x)$$ adalah predikat yang menyatakan bahwa siswa $$x$$ suka belajar.

  2. Kuantor Eksistensial $$(∃)$$

    • Konsep : Kuantor ini digunakan untuk menyatakan bahwa setidaknya satu elemen dalam suatu himpunan atau domain tertentu.

    • Dalam bahasa sehari-hari : "Ada" atau "Terdapat".

    • Contoh : "Ada siswa yang suka bermain sepak bola". Artinya, setidaknya ada satu siswa yang suka bermain sepak bola.

    • Kalimat matematisnya : $$∃x,P(x)$$

      • $$∃$$ adalah simbol kuantor eksistensial yang berarti "ada" atau "terdapat".

      • $$x$$ adalah variabel yang mewakili setiap siswa.

      • $$P(x)$$ adalah predikat yang menyatakan bahwa siswa $$x$$ suka bermain sepak bola.

Negasi Kuantor

Negasi dari kuantor dapat diartikan sebagai ingkaran dari pernyataan kuantor tersebut. Berikut adalah cara menegasikan untuk kuantor universal $$(∀)$$ dan kuantor eksistensial $$(∃)$$:

  1. Negasi Kuantor Universal $$(∀)$$

    • Pernyataan : $$∀x,P(x)$$

    • Negasi : $$¬∀x,P(x)$$ / $$∃x,¬P(x)$$

    • Contoh :

      • Pernyataan awal : "Semua siswa suka matematika." $$∀x,P(x)$$

      • Pernyataan negasi :"Ada seorang siswa yang tidak suka matematika." $$∃x,¬P(x)$$

  2. Negasi Kuantor Eksistensial $$(∃)$$

    • Pernyataan : $$∃x,P(x)$$

    • Negasi : $$¬∃x,P(x)$$ / $$∀x,¬P(x)$$

    • Contoh:

      • Pernyataan awal : "Ada mahasiswa yang belajar fisika." $$∃x,P(x)$$

      • Pernyataan negasi : "Semua mahasiswa tidak belajar fisika." $$∀x,¬P(x)$$

Mengkombinasikan kuantor dengan simbol lain

Kuantor ini dapat juga dikombinasikan dengan simbol lain, seperti konjungsi, disjungsi, negasi, implikasi, dan biimplikasi. Mari kita buat kalimat menggunakan kuantor logika dengan mengkombinasikan simbol lain.

  1. Konjungsi $$(∧)$$

    • Kalimat : "Siswa laki-laki dan siswa perempuan mengikuti pelajaran matematika".

    • Kalimat matematisnya : $$∀x,(L(x)∧P(x)∧M(x))$$

      • $$L(x)$$ : $$x$$ adalah siswa laki-laki.

      • $$P(x)$$ : $$x$$ adalah siswa perempuan.

      • $$M(x)$$ : $$x$$ mengikuti pelajaran matematika.

  2. Disjungsi $$(∨)$$

    • Kalimat : "Siswa dapat memilih untuk belajar fisika atau kimia".

    • Kalimat matematisnya : $$∀x,(F(x)∨K(x))$$

      • $$F(x)$$ : $$x$$ belajar fisika.

      • $$K(x)$$ : $$x$$ belajar kimia.

  3. Negasi $$(¬)$$

    • Kalimat : "Tidak ada siswa yang tidak menyukai olahraga".

    • Kalimat matematisnya : $$¬∃x,(¬S(x)∧O(x))$$

      • $$S(x)$$ : $$x$$ adalah siswa.

      • $$O(x)$$ : $$x$$ menyukai olahraga.

  4. Implikasi $$(→)$$

    • Kalimat : "Jika semua siswa belajar dengan giat, maka hasilnya akan baik".

    • Kalimat matematisnya : $$∀x,(B(x)→H(x))$$

      • $$B(x)$$ : Siswa $$x$$ belajar dengan giat.

      • $$H(x)$$ : Hasil belajar siswa $$x$$ baik.

  5. Biimplikasi $$(↔)$$

    • Kalimat : "Ada seorang siswa yang jago matematika jika dan hanya jika mereka mengikuti kursus kursus".

    • Kalimat matematisnya : $$∃x,(S(x)↔K(x))$$

      • $$S(x)$$ : $$x$$ adalah siswa.

      • $$K(x)$$ : $$x$$ mengikuti kursus.

matematika, matematika diskrit
© 2022 - Kang Nur